PAUTA:  PEP # 3 – CALCULO AVANZADO

(13 de Diciembre de 2002)

Pregunta 1

a) Considere    .  Esta  integral iterada no conviene resolverla en el orden en que está planteada. Cambie el orden de integración y calcúlela.

 

b) Utilice la sustitución     ,     para evaluar 

 

     donde R  es la región triangular acotada por las rectas   ,       y    

Solución.-

a)              

           

b)

                                

                                       

 

 

                              

  

 

 

 

Pregunta 2

 

Evalúe la integral de superficie

 donde  S  es  la  parte  del elipsoide      que se  encuentra  por  encima  del  plano  ,  N    es  la  normal  unitaria  a  S  con  componente  k  positiva  y  .

 

Solución

 

Por teorema de Stokes:

                                                          

 

   

 

donde   C   :       circulo paralelo a plano  XY

 

sobre  C  definida:

 

   

Parametrizando:

                                            

 

Luego

 

       

 

Por lo tanto    

 

 

 

 

 

 

 

 

Pregunta 3

Calcule    

 S   es la esfera  unitaria   

 

Solución.-       S :

 

   Normal exterior a  S :   

 

por otra parte  :   

                                 

 

Por lo tanto

            

 

R  es la región dentro de la esfera

 

Así