Universidad de Santiago de Chile

    Facultad de Ciencia

Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación

 

PEP # 2 – CALCULO AVANZADO

(22 de Noviembre de 2002)

 

Pregunta 1.-

 Para   

a) Verificar que es continua en  IR2 ;

b)      Calcular, si  existen,     en   IR2

Solución.-

a) i) En   ,   f    es continua por se cuociente  de funciones continuas.

     ii) En   ,    anotando  xy = u  ,

      si        entonces     y      =  = 1

      Como además,  , en este caso  entonces f   es continua

b)

i)  Si  0    ,  

ii)                   Si

           =   ;     

         (con  y0 ¹0)  usando regla de L’Hopital

        se obtiene 

 

      De manera análoga se obtiene   si  

Pregunta 2

Sea  f  diferenciable tal que 

   a) Probar que       n

       ( Indicación: derivar respecto de t )

  

   b) Sea    tal que    y        deducir que la recta tangente a   

       la curva     en     es de ecuación

           

c)      Usar  b) para determinar la ecuación de la recta  tangente a la curva     en  el

punto 

Solución.-

a) De     ,  con   ,  derivando con respecto a t  se tiene 

,  como   y considerando   t = 1  resul-

 ta   .

 

b) Con ecuación de recta tangente      y derivada   calculada por

    derivación implícita  de la ecuación  con     y    se

    tiene         , así reemplazando en la ecuación de la recta tangente resul-

    ta    lo que implica

   

c)     es  homogénea   con  n = 2  ,   ,

    ,  

    ;      y  usando  b)  la ecuación de la recta tangente    

    es       o   

 

 

 

Pregunta 3

Determinar  que  la  distancia  mínima  del  punto       al  plano

 , es dada por    

En particular calcular la distancia mínima desde el origen   al plano

 

 Solución.-

Con función distancia al cuadrado     y condición

  ,  .  Derivando parcialmente se tiene el sistema para puntos críticos

                                  

de lo cual se cumple  ,  que es condición para punto crítico. Para la condición suficiente de extremo se tiene

                       

con lo cual se obtiene mínimo

 

Nota.- Este problema puede ser resuelto también con multiplicadores de Lagrange.