Universidad de Santiago de Chile

   Facultad de Ciencia

Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación

 

PAUTA: PES  de CÁLCULO AVANZADO

(19 de Diciembre de 2002)

Pregunta 1

 

Sea       de  clase  C(2)  ( derivadas  parciales  segundas  continuas )    con     tal que la ecuación     define implícitamente  .  Determinar       y        en términos de derivadas parciales de  .

 

Solución.- Del teorema se la derivación implícita   se tiene    y con derivación compuesta ( regla de la cadena) se tiene

 

 

 

Pregunta 2

 

 Sea   ,   de  clase  C(1)  homogénea  de  grado  n, esto  es   que  verifica

    definida  en  una  región  D  limitada  por  la  curva   regular C .

Probar que 

 

Solución.-

 

Con teorema de Green

 

    =

 

    =

 

 

 

Pregunta 3

 

Resolver       si  C  es:

            a)  intersección  de     con     desde   (0,0,1)   a   (1,1,0)

            b)  intersección de       con  

 

Solución.-

  es de clase  C(1)  y sus componentes  respectivas   P,  Q,  R  verifican:  ,   ,       lo que significa que   ,  esto es   F  es un campo gradiente   con potencial. De esto

a) 

b)      ya que C   es una curva cerrada  y  F  un campo gradiente.

 

Pregunta 4

 

Calcular el  área de la parte del  cilindro  interior al cilindro    con

 (primer octante)

 

Solución.-

           

para     ,         y    D :     ,     ,   

 

 

Pregunta 5

 

Evaluar       si   S   es la superficie  

Solución.- Con Teorema de Gauss   de  ,  como    se obtiene   y